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在上一篇随笔中，我们探讨了Logistic回归的cost函数推导过程。接下来，我们将深入理解算法求解过程，重点分析cost函数的优化方法及其实现。
在Logistic回归中，目标是通过优化cost函数来找到参数向量$\theta$，使得预测结果最接近真实标签。以下是cost函数的关键变量和含义：
通过优化$J(\theta)$，我们可以得到最优的参数$\theta$，从而实现最好的模型预测。
为了找到$J(\theta)$的最小值，我们选择梯度下降算法。该算法通过迭代地调整参数$\theta$，逐步逼近最优解。
梯度下降算法的核心公式为：
$$ \theta := \theta - \alpha \nabla_{\theta} J(\theta) $$
其中，$\alpha$是学习速率，$\nabla_{\theta} J(\theta)$是cost函数对$\theta$的梯度。
在二维空间中，梯度可以理解为函数图像的切线斜率。对于多维特征，梯度表示cost函数在某一特定方向上的下降速度。
如图所示，cost函数可能存在多个局部最小值。梯度下降算法只能找到一个局部最小值，但这并不妨碍它成为一个高效的优化方法。
迭代终止的标准通常是：
为了实现梯度下降算法，我们需要计算cost函数对$\theta$的偏导数。通过对Logistic函数的推导，我们可以得到以下梯度表达式：
$$ \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = -y(i) \frac{1 + e^{-z(i)}}{1 + e^{z(i)}} + (1 - y(i)) \frac{e^{z(i)}}{1 + e^{z(i)}} $$
其中，$z(i) = \theta^T x(i)$，$x(i)$是输入特征向量。
将上述梯度表达式代入梯度下降公式，得到最终的迭代更新规则：
$$ \theta_j := \theta_j - \alpha \left[ y(i) \frac{1 + e^{-z(i)}}{1 + e^{z(i)}} - (1 - y(i)) \frac{e^{z(i)}}{1 + e^{z(i)}} \right] $$
在实际应用中，通常对所有特征同时更新，使用批量数据或 mini-batch 的方式进行参数优化。
通过对cost函数的分析和梯度的求解，我们掌握了Logistic回归参数优化的核心方法。梯度下降算法虽然只能找到局部最优解，但其简单易行的特性使其在机器学习领域广泛应用。
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